14-08-2005 | KHOA HỌC

Ông Vua Toán Học

  THU GIANG

  Karl Frederick Gauss

Một trong những phát minh nổi tiếng của Karl Frederick Gauss (1777 - 1855), nhà bác học người Đức, là dựng đa giác đều 17 cạnh chỉ bằng thước và compa.

Từ thời Euclid, bằng cách này người ta đã dựng được các hình ngũ giác đều, đa giác đều 15 cạnh và các đa giác đều có số cạnh 3.2ⁿ; 5.2ⁿ; 15.2ⁿ (ví dụ đa giác đều 6 cạnh, 20 cạnh, v. v...); còn các đa giác đều khác thì không dựng được.

Chàng sinh viên 18 tuổi C. Gauss nhận thấy việc dựng đa giác đều n cạnh nội tiếp trong vòng tròn tương đương với việc giải nhị thức Xⁿ - 1 = 0 ở dạng căn thức. Kết quả giải phương trình của anh cho thấy còn có thể dựng được đa giác đều n cạnh với điều kiện n là số nguyên tố có dạng n = ₂2^k +  1.

Với k = 0, 1, 2, 3, 4, n = 3, 5, 17, 257, 65537 thì có thể dùng thước và compa dựng được các đa giác đều với số n cạnh với k = 5, n trở thành số phức. Tất nhiên đó chỉ mới là lý thuyết. Còn phương pháp cụ thể dựng từng đa giác lại có những nét đặc biệt và những khó khăn riêng.

Gauss đã dựng đa giác đều 17 cạnh bằng thước và compa như sau:

1. Vẽ vòng tròn tâm O bán kính OP_o

2. Dựng OB vuông góc với OP_o

3. Lấy điểm J với OJ = 1/4 OB

4. Lấy góc OJE = 1/4 góc OJP_o

5. Dựng góc FJE = 45^o

6. Vẽ vòng tròn đường kính FP_o cắt OB tại điểm K

7. Vẽ vòng tròn bán kính EK, tâm E và đánh dấu các điểm cắt N₃ và N₅

8. Dựng đường N₃P₃ và N₅P₅ thẳng góc với OP_o

9. Chia đôi cung P₃P₅ bằng điểm P₄

10. Dây cung P₄P₅ chính là chiều dài cạnh của đa giác đều muốn dựng.

Dưới thông cáo báo chí về phát minh này của Gauss, giáo sư E. A. V. Xim-mec-man đã nhận xét thêm như sau: "Xin lưu ý độc giả là ngài Gauss chỉ mới 18 tuổi, và ngài còn nghiên cứu triết học và ngôn ngữ cổ với thành tích không kém toán học".

Về khả năng ngoại ngữ, Gauss làm người ta phải ngạc nhiên từ thời còn học ở trường trung học. Ông đọc thông viết thạo tiếng La tinh, tiếng Pháp, tiếng Anh, đọc lưu loát nguyên bản của các nhà văn lớn như Charles Dickens (Anh), Jean Jacques Rousseau (Pháp), Voltaire (Pháp), Walter Scott (Anh) ... Hai con trai út của Gauss sống ở Mỹ, do đó ông còn quan tâm tới văn học Mỹ.

Thời trẻ, Gauss có nghiên cứu một ít tiếng Nga. Đến năm 63 tuổi, vì muốn tìm hiểu kỹ các công trình của Lo-sa-sep-xki, ông bắt đầu tích cực học tiếng Nga. Trong thư gởi một học trò của mình, ông báo tin: "Thầy đã đọc tiếng Nga khá nhanh và rất hài lòng về việc này". Trong tủ sách của ông, còn tìm thấy 57 cuốn sách bằng tiếng Nga, kể cả một bộ 8 tập của Pushkin.

Ngày 23 tháng 2 năm 1855, Gauss qua đời, thọ 78 tuổi. Theo nguyện vọng của nhà toán học, trên bia mộ ở nghĩa địa Gottingen, người ta khắc một hình đa giác đều 17 cạnh nội tiếp trong đường tròn. Kỷ niệm về Gauss vĩnh viễn tồn tại với hình khắc huy chương và dòng chữ la tinh: "Karl Frederic Gauss: ông vua toán học".

Thu Giang

Cùng Tác Giả:

- Ông Vua Toán Học Thu Giang Khảo cứu