12-06-2005 | KHOA HỌC

Lý Luận Thường Và Lý Luận Khoa Học

  HOÀNG XUÂN HÃN

Có lúc tự nhiên ta đoán biết một việc gì, mà ta không hiểu vì đâu mà ta biết. Ấy vì sự ngẫu nhiên chăng? Ấy vì ta có một giác quan bí ẩn nào chăng? Sự tự nhiên đoán được thế, có thể gọi là trực giác. Nó không cần đến lý luận. Tất nhiên là ở đây tôi không muốn bàn đến các thuật bói toán. Phần nhiều sự đoán của ta là tự lý luận mà ra: hoặc vì kinh nghiệm mà biết, hoặn nhờ suy đoán mà biết.

Nhờ quan sát và thí nghiệm mà có kinh nghiệm. Ví dụ: Mỗi lúc có cầu vồng hay mống, ta nhận thấy vừa mưa vừa nắng. Ta nghĩ rằng có cầu vồng hay mống, ắt có mưa và nắng. Đó là lý luận theo kinh nghiệm. Nhưng ta còn muốn suy thêm ra rằng hễ có mưa và nắng, ắt có cầu vồng hay mống. Đó là lý luận theo suy đoán. Nhưng lúc nghiệm lại, ta thấy rằng sai vì nhiều lúc vừa mưa vừa nắng mà không có cầu vồng. Lý luận suy đoán kia lầm, vì ta vin vào một nguyên lý sai; là hễ một mệnh đề gì phải, thì phản đề nó cũng phải. Theo phép lý luận, sự vừa mưa vừa nắng là một điều kiện ắt có, chớ không đủ (xem K.H. số 25-26).

Một hôm khác, ta đi qua cái thác nào, nước từ trên cao đổ xuống, đụng ghềnh đá tung bay; mặt trời chiếu xuống, ta thấy biểu hiện một cái cầu vồng. Thế ra có cầu vồng chưa ắt đã vừa mưa vừa nắng. Điều kiện vừa mưa vừa nắng không những không đủ mà cũng không ắt có nữa! Cần phải nắng chăng? Cũng không. Có đèn rất sáng chiếu vào cũng thành cầu vồng được. Bây giờ ta có thể "thử" được. Ta cho tung nước, ta chiếu đèn pha vào. Ta nghiệm xem thành cầu vồng chăng. Thử nhiều lần, ta thấy rằng muốn thấy cầu vồng, hạt nước phải bé; ta lại phải đứng về phía đèn mà trông. Thí nghiệm như vậy nhiều lần, lại ra quan sát ở trời, ta nhận thấy kết luận ta đúng.

Lúc ta đã biết đích xác rằng cầu vồng là bởi ánh sáng chiếu vào hạt mưa nhỏ và phản chiếu lại mắt ta mà hiện ra, ta suy xem vì nguyên lý nào mà có sự ấy. Ta lấy quang học mà xét, sẽ thấy rằng với cái định luật về phản xạ và chiết xạ, ta có thể giải rõ được; và không những ta giải rõ mà ta còn tính được các đường kính của cầu vồng đúng như sự thực.

CHÚ THÍCH (1):

Định luật phản xạ và chiết xạ nói rằng: lúc nào tia sáng gặp một môi trường trong suốt, nó thường chia làm hai tia, một tia phản chiếu, một tia qua môi trường kia, nhưng nó đổi hướng thành ra gấp khúc (chiết xạ). Tia tới, tia phản, tia chiết đều ở trên một mặt phẳng cùng pháp tuyến của mặt chắn của hai môi trường. Góc tới t, góc phản p, góc chiết c liên lạc với nhau theo các công thức sau này t = p và sint = n.sinc, sốn n là một số gọi là chiết xuất của môi trường sau đối với môi trường trước. Tùy theo sắc mà n to nhỏ. Từ khi sang nước, thì sắc đỏ n nhỏ, sắc tím n to.

Hạt nước nhỏ hình cấu. Tâm điểm mặt trời, tâm điểm hạt nước và tâm điểm con người ta định thành một mặt phẳng mà ta cho là mặt tờ giấy (hình 1). Một tia sáng từ mặt trời tới, gặp hột mưa ở điểm A, góc tới là t, một phần xuyên qua mặt chắn mà vào. Vì chiết xuất n tùy theo sắc khác nhau mà to nhỏ, nên công thức sint = n.sinc cho ta biết rằng mỗi sắc thành một tia chiết. Trong đó một sắc kia (ví dụ đỏ) thành tia chiết AB. Ở điểm B, tia ấy lại chia ra hai tia, một tia ló ra ngoài hạt mưa (không vẽ ở hình 1), một tia phản chiếu, góc p bằng góc c, nó lại gặp mặt cầu ở C, một phần phản chiếu (không vẽ), một phần ló ra và tới con người ta: ấy là tia CO. Góc ló ra cũng bằng góc tới t. Tia tới NA và tia ló ra CO đối xứng với nhau qua trục IB. Mắt ta đón được tia đỏ CO, nhìn thấy sắc đỏ theo hướng OC. Còn các sắc khác ở tia NA mà ra, đều đi lệch ngoài mắt ta cả.

Ta còn có thể tính góc của hai tia: tia tới NA, và tia ló CO. Hai tia ấy, nối dài ra, sẽ gặp nhau ở điểm D trên đường IB (hình 2). Xét hai hình tam giác IAD và IAB ta thấy rằng góc ngoài EIA bằng IAD + t và 1c.

Vậy: IDA = 2c - t và NDO = 4c - 2

Mặt trời giọt vào nhiều điểm trên hạt nước, mà hướng NA và hướng CO không đổi, vì đó là hướng mặt trời và hướng người xem, mặt trời và người xem đều ở cực xa. Xem vậy, lúc điểm A khác nhau, thì góc t và góc c đổi, chớ góc NDO không đổi.

Vi phân của nó là 4dc - 2st. Vậy ta có phương trình (vi phân ấy triệt tiêu): 2dc = dt (1)

Vả chăng hai góc c và t còn liên lạc bởi: sint = n.sinc (2)

Lấy vi phân thì thấy: cost x dt = n.cosc x dc (3)

Nhân (1) với (3) thấy: 2.cost = n.cosc (4)

Hai phương trình (2) với (4) dùng để tính t và c được. Cách tính chóng là viết (2) thành :

(sint + sinc) / (sint - sinc) = (n + 1) / (n - 1)

hay là: (n - 1). tg[ (t + c)/2] = (N + 1) tg [(t - c)/2]  (5)

Ta cũng viết (4) theo cách: (cosc - cost) / (cosc + cost) = (2 - n) / (2 + n)

tg[(c + t) / 2] . tg[(t - c)/2] = (2 - n) / (2+n)  (6)

Nhân (5) với (6), rồi chia (5) với (6); sẽ thấy:

{tg[(t + c)/2]}² = [(n + 1)(2 - n)] / [(n - 1) (2 + n)] và

{tg[(t - c)/2]}² = [(n - 1)(2 - n)] / [(n + 1) (2 + n)]

Vì n đã biết, trên bảng logarit cho ta (t+c)/2 và (t-c)/2. Ta suy t và c, rồi tìm góc NDO = 4c - 2t.

Sắc đỏ đối với nước thì n vào khoảng 4/3 tôi tính thấy NDO = 42 độ (vì t = 59 độ 23 và c = 40 độ 13).

Trải qua các sắc đỏ, cam, da cam, vàng, lục, xanh, lam, tím, chiết xuất càng tăng, và góc NDO kia càng bớt.

Xem vậy, xung quanh đường thẳng nối từ mắt đến mặt trời ta thấy sắc đỏ theo hoúng như OĐ và sắc tím theo hướng như OT (hình 3). Hướng CĐ cách hướng trái với mặt trời 42 độ và hướng OT cách bé hơn. Ta thấy trên trời, có vùng cung đỏ ngoài tím trong, và gồm có các màu đỏ, cam, vàng, lục, xanh lam, tím. Tâm điểm là K ở dưới mặt đất. Nếu mặt trời cao x độ, thì tâm K thấp x độ, và đỉnh cầu vồng cao (42 - x) độ. Thế thì, chỉ có lúc mặt trời mới mọc, trước độ 9 giờ sáng, hoặc lúc mặt trời đã xuống thấp, sau độ 3 giờ chiều, thì góc x mới bé hơn 42 độ và mới có cầu vồng; và mặt trời thấp chừng nào thì cầu vồng cao chừng nấy.

Nếu ta để ý xét kỹ nữa, thì thường ngoài cầu vồng tỏ, ta còn thấy một cầu vồng mờ. Mà cầu vồng mờ này lại tím ngoài đỏ trong. Lấy quang học suy đoán ta nhận thấy rằng đó vì tia sáng phản chiếu hai lần trong hạt nước rồi mới ló ra, và ta theo cách trên tính thấy góc NDO kia đo được 51 độ (xem hình 1). Ta tự hỏi rằng nếu tia sáng phản chiếu ba lần, bốn lần trong hạt nước thì sao? Tất là lại làm ra cầu vồng thứ ba, thứ tư nữa to dần dần; nhưng mỗi lần phản chiếu, chỉ một phần ánh sáng phản xạ mà thôi, cho nên các cầu vồng ấy rất mờ.

Trên đây tôi lấy một thí dụ khoa học để phân giải sự lý luận. Lý luận ấy gồm có phần quy nạp đi từ thực hiện đến nguyên lý, và phần suy đoán đi từ nguyên lý đến thực hiện.

Lý luận nào cũng vậy, không thể vượt ra khỏi hai cách trên; nó thuộc về một vấn đề thường hay là vấn đề khoa học cũng vậy. Nhờ quy nạp, ta tìm được những nguyên lý. Ta lại dùng nguyên lý ấy mà suy đoán. Muốn suy đoán phải có quy nạp trước. Nhưng những nguyên lý ở quy nạp mà ra không có tính cách đích xác một cách tuyệt đối. Xem như trên, vì sự quan sát ta tưởng là có cầu vồng tất phải có nắng có mưa. Đó là không đúng hẳn. Ta càng quan sát và thí nghiệm kỹ càng, chính xác bao nhiêu thì thấy những định luật tìm ra trước càng sai ấy nhiêu. Vì vậy nên ta có cảm tưởng rằng phép quy nạp không được chắc chắn.

Còn phép suy đoán thì tựa hồ vững vàng không lay chuyển, vì nguyên lý đã cho là đúng thì kết luận không thể cho là sai được. Nhưng nguyên lý đã chắc đúng chưa. Nếu có lòng hồ nghi phép quy nạp thì phải hồ nghi nguyên lý từ quy nạp mà ra, nên kết quả của sự suy đoán cũng không chắc chắn nữa.

Những người thiên về phép suy đoán tưởng rằng hễ vấn đề gì có thể lấy toán học mà tính được thì mới biết một cách rõ ràng chắc chắn. Tưởng thế là lầm vì các nguyên lý dùng đã chắc chắn đâu. Ví như cơ học Newton, hơn hai trăm năm dùng cho là chắc chắn; đến lúc ứng dụng vào cơ học phân tử thấy sai, nên mới biết nguyên lý cũ chỉ đúng vừa thôi.

Có kẻ trái lại tưởng rằng không cần lý luận suy đoán mà cũng có thể giải những vấn đề thường, và đối với họ, hình nhu suy đoán chỉ để dành riêng cho những nhà khoa học và nhất là cho nhà toán học. Thực ra, mỗi lúc mình định việc gì, nghĩ làm việc gì, là mỗi lúc mình dùng sự kinh nghiệm rồi mình suy đoán. Công việc khảo sát là một bài toán đố. Bài toán đố nào mà ít dùng các phép tính là bài toán đố khó, bởi vì giải nó cần phải lý luận suy đoán. Sau đây tôi sẽ dẫn hai thí dụ.

Thí dụ đầu:

Người nước ta hiện sống bây giờ, thế nào cũng có người sinh cùng năm, cùng tháng, cùng ngày, cùng giờ.

Ấy vì nếu người sinh khác năm, khác tháng, khác ngày, khác giờ thì trong số 17 triệu người (theo số thống kê của chính phủ Đông Dương vào năm 1936 có chừng 16.679.000) có người đã sinh cách bây giờ 17 triệu giờ. Nếu ta đổi 17 triệu giờ ra năm, ngày và giờ thì thấy được 1840 năm. Nếu vậy, có người đã sống được 1840 tuổi. Cho nên thế nào cũng có người sinh cùng năm, cùng tháng, cùng ngày, cùng giờ.

Thí dụ thứ hai (theo cũ):

Trong phòng tối mịt, treo ba cái khăn đen và hai cái khăn trắng. Ba người: Giáp, Ất, Bính, biết vậy, vào lấy mò mỗi người một cái rồi liền đội vào đầu. Lúc ra ngoài, Ất hỏi Giáp rằng: "Anh có đoán được anh đội khăn gì không?". Giáp nhìn khăn trên đầu hai người bạn rồi trả lời: "Không". Bính lại hỏi Ất rằng: "Còn anh thì sao?". Ất cũng nhìn khăn hai bạn rồi lắc đầu. Và anh ta nói tiếp với Bính: "Thế thì anh phải đoán đúng khăn anh". Độc giả thử nghỉ hộ cho Bính. Biết thêm rằng Bính không mù, không điếc, không ngây và không gàn.(2)

Độc giả thử nghỉ xem. Đó là bài toán không cần số, câu đố rất hữu lý, hữu tình. Lúc tìm thấy cách giải hay là lúc độc giả sẽ đọc bài giải đăng ở mục Toán pháp giải trí ở B.K.H số 33 thì độc giả sẽ thấy mầu nhiệm của sự suy đoán.

Quy nạp và suy đoán đều cốt thiết cho lý luận. Đến những nhà bói toán họ cũng dùng. Kết quả đúng hay không là bởi nguyên lý không chắc và lý luận non. Nhưng như tôi đã nói trên, lý luận không phải là nguồn độc nhất cho sự biết của ta.

Một ngày kia, tôi thấy một em bé đứng trên bàn cân và đọc mười bảy kí lô. Tôi hỏi: "Lúc em ở Đà Lạt cân được mấy?" - "Được mười lăm kí lô". Tôi lại hỏi: "Thế thì em cân thêm được bao nhiêu?" Không ngần ngại, em bé trả lời: "thêm được hai kí lô". Quen thói hỏi thi, tôi hỏi thêm:

"Em làm sao mà biết vậy?" Em bé ngần ngại hình như cho câu hỏi tôi là ngớ ngẩn, rồi trả lời: "Vì ... em cân hai lần".

Câu trả lời tự nhiên kia là một câu cảnh tỉnh cho kẻ quen lý luận!

Hoàng Xuân Hãn

(HXH tập I trang 1111)

(1) Độc giả nào không muốn đọc đoạn chữ bé này cũng được.

(2) Xem Toán pháp giải trí ở số báo K.H này (Khoa Học, số 31 tháng 7-1944).  

Bính trả lời mình đội khăn Đen. Bính đã suy luận như sau:

- Nếu có 2 người trong 3 người mà đội khăn trắng (cụ thể: Ất và Bính hoặc Giáp và Bính đội khăn trắng ) thì chắc chắn Giáp (hoặc Ất) sẽ trả lời ngay mình đội khăn Đen. Nhưng cả 2 người (sau khi được hỏi) đều lắc đầu. Chứng tỏ nhiều nhất là 1 người đội khăn trắng.

- Bính suy luận: Nếu mình đội khăn trắng, thì một trong 2 người kia sẽ khẳng định được là mình đội khăn đen. Nhưng cả Ất và Giáp đều lắc đầu, chứng tỏ Bính không đội khăn trắng. Vậy Bính đội khăn ĐEN. (Lời giải của Đinh Cao Phạn)

Cùng Tác Giả:

- Toán học Hoàng Xuân Hãn Khảo cứu

- Con ong giỏi toán Hoàng Xuân Hãn Khảo cứu

- Hàn Tín Điểm Binh Hoàng Xuân Hãn Khảo cứu

- Lý Luận Thường Và Lý Luận Khoa Học Hoàng Xuân Hãn Khảo cứu