10-07-2005 | KHOA HỌC

Hàn Tín Điểm Binh

  GS. HOÀNG XUÂN HÃN

I. QUY TẮC HÀN TÍN

Tục truyền rằng (1) ngày xưa, Hàn Tín danh tướng của Hán Cao tổ dùng phép sau này để điểm binh:

Bảo lính sắp hàng ba hàng năm và hàng bảy, rồi đếm hàng lẻ cuối cùng. Ghi những số lẻ ấy.

Nhân số lẻ hàng ba cho 70, số lẻ hàng năm cho 21 và số lẻ hàng bảy cho 15, rồi cọng lại.

Lấy số thành mà thêm bớt một bội số của 105 thì được số lính.

Ví dụ sắp hàng ba lẻ 2; sắp hàng năm lẻ 3 và sắp hàng bảy lẻ 4. Theo phép trên thì số lính là:

N = (2 x 70) + (3 x 21) + (4 x 15) + k.105 hay là

N = 263 + k.105 k là một số nguyên, âm dương tùy đó, to nhỏ tùy đó.

Muốn biết số N một cách chính xác thì phải biết chừng N trong khoảng 105 hoặc ít hơn.

Như N chừng từ 800 đến 900 thì k là 6 và N = 263 + (6 x 105) hay là N = 893

Quy tắc trên tóm tắt trong bốn câu thơ dưới đây:

Đọc:

Tam nhân đồng hành thất thập hi.

Ngũ thụ mai hoa trấp nhất chi.

Thất tử đoàn viên chính bán nguyệt.

Trừ bách linh ngũ tiện đắc tri.

Dịch:

Ba người cùng đi ít bảy chục.

Năm cỗi mai hoa hăm mốt cành.

Bảy gã xum vầy vừa giữa tháng.

Trừ trăm linh năm biết số thành.

Bài thơ này của Trình Đại Vỹ đời nhà Minh, dùng chữ sách có dính líu đến những số cần biết. Như ở câu đầu là dùng câu "tam nhân đồng hành tất hữu ngã sư" và câu "nhân sinh thất thập cổ lai hi".

Tôi xin dịch đổi lại như sau cho dễ hiểu:

Ba người cùng hàng, nhân bảy mươi.

Năm người cùng hàng, nhân hăm mốt.

Bảy người cùng hàng, nhân mười lăm.

Trừ trăm linh năm thì tính suốt.

Nghĩa vẫn là tối tăm. Nhưng ta phải hiểu rằng bài trên là chỉ để nhớ mấy số quan hệ trong quy tắc mà thôi.

II. NGUỒN GỐC CỦA QUY TẮC HÀN TÍN:

Bài toán trên đây, ta có thể đặt như thế này:

Một số S chia cho 3 còn a, chia cho 5 còn b, chia cho 7 còn c. Vậy chia cho 3 x 5 x 7 hoặc 105 còn bao nhiêu?

Ta có thể viết theo ba phép chia như sau:

S = 3.A + a

S = 5.B + b

S = 7.C + c

a, b, c lần lượt kém 3, 5, 7 và cũng có thể là số không.

Ta nhân hai vế đẳng thức đầu với 5.7.m ; được: 35.m.S = 105.m.A + 35.m.a

Ta nhân hai vế đẳng thức thứ hai với 7.3.n; được: 21.n.S = 105.n.B + 21.n.b

Ta nhân hai vế đẳng thức thứ ba với 3.5.p; được: 15.p.S = 105.p.C + 15.p.c

rồi ta cọng ba đẳng thức mới được lại. Thành:

(1) (35m + 21n + 15p). S = 105.(mA + nB + pC) + 35ma + 21nb + 15pc

Ta sẽ tìm ba số nguyên m, n, p nghiệm đẳng thức sau đây:

(2) 35m + 21n + 15p = 105k + 1

Ta viết (2) như sau: 35m - 1 = 3(35k - 7n - 5p)

Thế tỏ ra rằng vế đầu chia cho 3 đúng.

Ví dụ m là 2 thì có: 35.2 - 1 = 3 x 23

Trừ hai đẳng thức trên, ta sẽ thấy: 35(m - 2) = 3.D

Vế đầu chia cho 3 đúng. Nhưng 35 không chia cho 3 đúng. Vậy m - 2 chia cho 3 đúng.

Và m = 2 + 3M

Ta quay trở lại đẳng thức (2) mà ứng dụng lý luận vừa dùng để kiếm n rồi kiếm p. Ta sẽ thấy:

21n - 1 = 5.(21k - 7m - 3p)

21 x 1 - 1 = 5.4

Trừ: 21.(n - 1) = 5. E

Được: n = 1 + 5N

Và:

15p - 1 = 7.(15k - 5m - 3m)

15.1 - 1 = 7.2

Trừ: 15.(p - 1) = 7.F

Được: p = 1 + 7P

Làm như thế, ta được vô số những số m, n, p nghiệm đẳng thức (2).

Ta lấy ba số M = N = P = 0, ta được ba số: m = 2, n = 1, p = 1 gọn nhất.

Thay nó vào đẳng thức (1) ta sẽ thấy:

(105 + 1).S = 105.(2A + B + C) + 70a + 21b + 15c

Hay là: S = 105.T + (70a + 21b + 15c)

Vậy số S bằng 70a + 21b + 15c rồi thêm bớt một bội số của 105.

Đó chính là qui tắc "Hàn Tín điểm binh".

La Sơn Yên Hồ Hoàng Xuân Hãn: Tập 1, Tập 2 Tập 3

(Nguồn: Kệ sách Học Xá)

III. QUY TẮC TỔNG QUÁT

Theo phương pháp lý luận trên, ta có thể dùng những số căn bản khác những số 3, 5, 7 trên. Số căn bản lớn bé, nhiều ít bao nhiêu cũng được.

Giả thử, ta chia S cho u, v, w, y ... thì có thừa a, b, c, d ...

1) Ta viết:

S = u.A + a

S = v.B + b

S = w.C + c

S = y.D +d

Ta tìm bội số chung bé nhất của u, v, w, y ... và ta gọi nó bằng B.

2) Rồi ta chia nó cho u, v, w, y ... ta được những số, theo thứ tự, là U, V, W, Y ...

3) Ta nhân các đẳng thức trên, theo thứ tự, với Um, Vn, Wp, Yq ... rồi ta cọng các tích số mỗi bên lại.

Được: S.(Um + Vn + Wp + Yq + ... )

= (UmuA + VnvB + ... ) + (Uma + Vnb + Wpc + Yqd + ...)

nhưng vì: Uu = Vv = Ww = Yy = B

Vậy:

(1) S.(Um + Vn + Wp + Yq + ...) = B.(mA + nB + ...) + (Uma +Vnb + Wpc + Yqd + ...)

4) Ta tìm những số nguyên m, n, p, q ... nghiệm đẳng thức:

(2) Um + Vn + Wp + Yq + ... = k.B +1

Muốn tìm m thì ta kiếm ước số chung của V, W, Y, ... và B (nghĩa là số chia đúng các số ấy). Ta sẽ gọi nó là u'.

Rồi ta thấy: Um - 1 = u' . E

Nếu ta biết một số m' riêng nào đó nghiệm đẳng thức này, ta viết: Um' - 1 = u' . E'

Trừ hai đẳng thức trên đây, sẽ được: U(m - m') = u'(E - E')

Nhận rằng U không chia cho u' được đúng, vậy m - m' lại chia đúng cho u':

m - m' = u'.M và m = m' + u'.M

M là một số nguyên tùy ý chọn. Rồi ta cũng theo cách ấy mà kiếm n, p, q, ...

5) Ta chọn trong những số:

m = m' + u'.M

n = n' + v'.N

p = p' + w'.P

q = q' + y'.Q

Những số m, n, p, q, gọn nhất làm cho vế đầu (2) bằng k.B + 1 (Phải chọn M, N, P, Q, nhưng rất dễ).

Ta thay nó vào trong đẳng thức (1) ở mục 3) ta sẽ thấy:

S = B.T + (a'a + b'b + c'c + d'd + ... )

Những số a', b', c', d' ... là những số như 70, 21, 15, trong quy tắc Hàn Tín; còn a, b, c, d ... là như những số 3, 5, 7 trong ấy.

Ta sẽ gọi tắt a, b, c, d là ước số cơ bản và a', b', c', d' là hệ số cơ bản.

IV. THÍ DỤ

Muốn cho độc giả hiểu rõ và nhất là dùng dễ dàng phương pháp trên, tôi sẽ ứng dụng nó vào ba thí dụ: thí dụ với hai, với ba, với bốn ước số cơ bản. Tôi cũng dùng những chữ dùng trên và số hiệu thứ tự của mỗi đoạn cũng theo trên; cốt để độc giả dễ nhận và đối chiếu quy tắc và ứng dụng.

Thí dụ đầu: u = 6, v = 10:

1) Viết: S = 6A + a, S = 10B + b

2) Bội số chung bé nhất của 6 và 10 là 30. Chia 30 cho 6 và 10, được 5 và 3.

3) Nhân đẳng thức trên cho 5m và dưới cho 3n, rồi cọng tích số mỗi bên lại.

   Thành: (5m + 3n).S = 30(mA + nB) + (5ma + 3nb)

4) Tìm m và n nghiệm: 5m + 3n = 30.K +1

Nhận rằng 3 chia đúng 30.

Vậy: 5m - 1 = 3.E

Nhưng 5.2 - 1 = 3.3

Trừ được: 5(m - 2) = 3.(E - 3)

Vì 5 không chia đúng cho 3 được, m - 2 chia đúng cho 3:

m - 2 = 3.M Và m = 2 + 3.M

Ta lại nhận thấy 5 chia đúng cho 30.

Vậy: 3n - 1 = 5F

Nhưng 3.2 - 1 = 5.1

Trừ được: 3(n - 2) = 5(F - 1)

Vậy n - 2 = 5.N

Và n = 2 + 5.N

5) Đem thay vào 3) ta thấy vế đầu thành: (16 + 15M + 15N)

Ta chọn M = 1, N = 0. Vậy m = 5, n = 2.

Đẳng thức 3) thành: (30 + 1).S = 30(5A + 2B) + (25a + 6b)

Hay là: S = 30T + (25a + 6b)

Hệ số cơ bản là 25 và 6.

Thí dụ thứ hai: u = 5, v = 8, w = 12:

1) Viết:

S = 5A + a

S = 8B + b

S = 12C + c

2) Bội số chung bé nhất của 5, 8, 12 là 120.

Thương số của 120 chia cho 5, 8, 12 là 24, 15 và 10.

3) Nhân ba đẳng thức lần lượt cho 24m, 15n, 10p rồi cọng tích số lại.

Được: (24m + 15n + 10p).S = 120(Am + Bn + Cp) + (24ma +15nb + 10pc)

4) Tìm m, n, p nghiệm đẳng thức: 24m + 15n + 10p = 120k +1

Nhận rằng 15, 10 và 120 đều chia cho 5 đúng.

Vậy: 24m - 1 = 5E

Nhưng 24.4 - 1 = 5.19

Trừ được: 24(m - 4) = 5(E - 19)

Vì 24 không chia đúng cho 5.

Vậy: m - 4 = 5M Và m = 4 + 5M

Rồi tính như trên thì thấy: n = 1 + 2N, p = 1 + 3P

Thay m, n, p vào vế đầu của đẳng thức 3) thành: (121 + 120M + 30N + 30P).S

Vậy ta lấy M = N = P = 0. Ba số m, n, p thành 4, 1 và 1.

Đẳng thức 3) thành: (120 + 1)S = 120(4A + B + C) + (96a + 15b + 10c)

hay là: S = 120T + (96a + 15b + 10c)

Ba hệ số cơ bản là 96, 15 và 10.

Thí dụ thứ ba: u = 7, v = 9, w = 11, y = 13:

1) Viết:

S = 7A + a

S = 9B + b

S = 11C + c

S = 13D + d

2) Bội số chung bé nhất của 7, 9, 11, 13 là tích số của bốn số ấy, B = 9009.

Thương số của 9009 chia cho 7, 9, 11, 13 lần lượt là 1287, 1001, 819, 693.

3) Nhân những đẳng thức trên lần lượt cho 1287m, 1001n, 819p, 693q rồi cọng tích số lại.

Được: (1287m + 1001n + 819p + 693q)S =

9009(Am + Bn + Cp + Dq) + (1287ma + 1001nb + 819pc + 693qd)

4) Ta tìm m, n, p, q làm sao cho vế đầu thành: (1287m + 1001n + 819p +693q = 9009k +1

Lý luận như trên ta sẽ thấy: 1287m - 1 = 7E

Đây ta có thể tìm m bằng một số âm. Với m = -1, ta thấy: 1287(-1) - 1 = 7.(-184)

Trừ, được: 1287(m + 1) = 7(E + 184)

Số m + 1 chia cho 7 đúng: m = -1 + 7M

Tìm theo phương pháp ấy thì thấy: n = 5 + 9N, p = -2 + 11P, q = -3 + 13Q

5) Thay m, n, p, q trong đẳng thức 3), ta thấy rằng, với M = N = P = Q = 0, đẳng thức đổi ra:

S = 9009K + (-1287a + 5005b - 1638p - 2079q)

Hệ số cơ bản là: -1287, 5005, -1638 và -2079.

V. KẾT LUẬN

Bài toán đố trên đây cho ta một cách đếm khá tiện.

Ai cũng nhận rằng, đếm số lớn chừng nào thì mệt óc và hay sai chừng ấy. Nay theo thành tích trên, ta thấy rằng khi nào ta phải đếm một số lớn S vật gì, ta không cần đếm từ 1 đến S. Ta chỉ đếm 3 cái một, 5 cái một, rồi 7 cái một. Tuy là phải đếm ba lần; nhưng đếm từ 1 đến 3, đến 5 và đến 7 không mệt, ít sai; vả lại ta chỉ cần biết số còn lại mà thôi.

Một điều bất tiện là phải biết trước chừng chừng số S. Nhưng lấy ước số căn bản nhiều, lớn và nguyên tố cùng nhau thì chẳng cần biết chừng của S. Với ước số căn bản 7, 9, 11, 13, nếu S dưới một vạn thì ta chẳng cần biết trước gì nữa.

Nhất là đếm những người biết sắp hàng như lính lại càng tiện. Chỉ hô bốn lần, nhìn hàng cuối và tính năm phút, mà ta có thể đếm được hàng vạn người.

GS. Hoàng Xuân Hãn

(HXH tập I trang 1081)

Cùng Tác Giả:

- Toán học Hoàng Xuân Hãn Khảo cứu

- Con ong giỏi toán Hoàng Xuân Hãn Khảo cứu

- Hàn Tín Điểm Binh Hoàng Xuân Hãn Khảo cứu

- Lý Luận Thường Và Lý Luận Khoa Học Hoàng Xuân Hãn Khảo cứu