25-06-2006 | KHOA HỌC

Con ong giỏi toán

  GS HOÀNG XUÂN HÃN

Ai cũng biết rằng loài ong mật là một loài vật biết hợp quần, biết trọn nghĩa vua tôi, biết cần kiệm và biết đổi những chất lấy ở hoa ra mật và ra sáp. Thế là ngoài những đức tính rất quý, ong là một kỹ sư hóa học tinh xảo. Nhưng không ai ngờ ong còn là một nhà kiến trúc thông minh và một bực toán học biệt tài. Ta xem sau này sẽ rõ.

Cầm tổ sáp ong mà xem. Ta thấy hai mặt vô số lỗ hình sáu góc, nằm kế cạnh nhau và đều ngăn ngắt. Nhưng chớ vội tưởng rằng những lỗ ấy không đáy đâu. Ðáy ở giữa. Thực ra mỗi miếng tổ sáp gồm có hai lớp ống hình sáu mặt, đáy chung ở giữa. Xem cho kỹ lại thấy cửa ra hai mặt không đối nhau (xem hình 1) và đáy không phẳng.

Mỗi ống hình lăng trụ (cột có góc), thiết diện có sáu góc đều nhau. Mặt ngoài phẳng: đó là cửa vào. Mặt trong gồm có ba hình thoi ghép với nhau thành ra đáy nhọn và sáu mặt bên thành hình thang thẳng góc.

Ðỉnh đáy ống trên không tiếp với đỉnh đáy lớp dưới, cho nên đáy của hai lớp tuy là chung, nhưng ba hình thoi của một ống lớp trên lại ăn vào đáy của ba ống khác nhau ở lớp dưới. Ðã có người đo những hình ấy một cách kỹ càng, và đã tìm ra rằng mỗi cạnh hình sáu góc ở mặt ngoài đo được 2.7 ly, bề sâu mỗi ống là 11.3 ly; hình thoi ở đáy có hai góc đo được 109 độ 28 phút và hai góc kia đo được 70 độ 32 phút.

Ong ở xứ nào cũng vậy làm tổ in nhau; những con số viết trên nầy không đổi, quý hồ là loài ong mật mà thôi. Vậy nên đã có người bàn nên lấy tổ ong mà làm căn cứ để định đơn vị bề dài, cũng như là lúc trước người nước ta dùng đường kính đồng tiền kẽm để định bề dài thước đo; nhưng đồng tiền còn có chiếc to, chiếc bé, chớ lỗ tổ ong lúc nào cũng đều. Và nhất là đồng tiền kẽm dần dần mất tích, chớ lỗ tổ ong đời đời vẫn còn, cho nên lúc nào cũng có thể gây lại được cái thước đo.

Sự kích thước lỗ tổ ong không đổi làm cho ta lấy làm lạ, nhưng sau lúc ta xét ra lẽ vì sao mà ong lại chọn dạng ấy, kích thước ấy thì ta sẽ lấy làm kinh ngạc mà thán phục.

*

Mỗi ống là một phòng riêng trước để đựng mật, sau để ong non nở ra và sinh trưởng ở trong, trước lúc biết bay ra làm việc. Vậy một bài tính đố bắt buộc nhà "kiến trúc ong" phải làm sao cho dùng khỏi phí chỗ và không phí vật liệu: sáp.

Miệng lỗ

Thoạt tiên, ta tưởng rằng, mình ong tròn, thì gì chả bằng làm ống tròn, cho khỏi phí chỗ. Vã chăng nhờ toán học mà ta biết rằng nội các hình trụ, có góc hay không, và cùng chung một thể tích, thì hình trụ tròn xoay là diện tích xung quanh bé nhất. Như thế thì dùng ống tròn ít tốn sáp hơn cả. Ta nghĩ có lý, nhưng không hay. Ta chỉ thấy một lẽ, chớ không thấy hai! Vì ta quên rằng không phải chỉ làm một ống mà thôi. Làm nhiều ống. Nếu ống tròn thì để cạnh nhau không khít mọi bề được; xem hình 2 sẽ rõ.

Muốn không hở chỗ thì phải dùng ống có góc. Mặt thiết diện là một hình nhiều góc đều. Nhưng chỉ có ba thứ hình nầy ghép nhau không hở là: hình tam giác, hình vuông và hình sáu góc.

Ðiều ấy có thể dùng hình học và số học mà chứng minh một cách dễ dàng. Nguyên là trong một hình có n góc, cộng các góc ở chu vi lại thì được 2(n-2) góc vuông. Vì ở chu vi có cả thảy n góc, mỗi góc ấy bằng 2(n-2)/n góc vuông. Bây giờ ta ghép những hình nầy xung quanh một điểm. Muốn cho không có chỗ hở thì phải làm sao cho mỗi góc ở chu vi phải là một phần của bốn góc vuông, nghĩa là số 4 phải chia đúng cho số 2(n-2) / n.

Chia thì được: 2n / n-2 hay là 2 + (4 / n-2)   

Số ấy phải là số nguyên: 4 phải chia đúng cho n-2.

Vậy chỉ có thể có những trường hợp sau nầy:

n-2 = 1 hay là n = 3 (hình tam giác)

n-2 = 2 hay là n = 4 (hình vuống)

n-2 = 4 hay là n = 6 ( hình sáu góc).

Với hình tam giác thì phải ghép 6 hình xung quanh một điểm (60 . 6 = 360o); với hình vuông phải 4 hình (90 . 4 = 360o); với hình sáu góc phải 3 hình (120 . 3 = 360o).

Trong ba hình trên nầy, vì sao ong lại chọn hình 6 góc?

Một lẽ là vì trong ba hình ấy, làm hình sáu góc ít tốn sáp hơn cả. Vậy ta thử đem so sánh chu vi của 3 hình mà diện tích bằng nhau (20 ly vuông) thì ta thấy hình tam giác chu vi có 20.4 ly, hình vuông chu vi có 17.9 ly và hình sáu góc thì chu vi chỉ có 16.6 ly. Thế là có thể hà tiện được 20% đối với hình tam giác và 7% đối với hình vuông.

Tính những lượng ấy như thế này. Nếu M là diện tích và c là cạnh thì M và c liên lạc với nhau bằng công thức kể sau:

Về hình tam giác thì: M = c²3 / 4

Về hình vuông thì: M = c²

Và về hình sáu góc thì: M = 3/2 (c²3)

Một lẽ thứ hai là mình ong tròn. Lỗ phải làm sao cho ong có thể nằm vừa vào trong. Mỗi lỗ phải đựng trong lòng vừa một hình tròn mà đường kính là 4.8 ly. Tính ra thì hình sáu góc phải có chu vi 16.6 ly mà hình vuông và hình tam giác thì phải có 18.7 ly và 24.4 ly. Vậy thực ra thì dùng hình sáu góc đối với hình vuông có lợi 11% và đối với hình tam giác có lợi 32%.

Nếu R là bán kính của vòng tròn nội tiếp của ba hình, và c là cạnh thì theo thứ tự tam giác, vuông, sáu góc, ta có:

R = (c3) / 3 ; R = c / 2 ; R = (c3) / 2

Ðáy lỗ

Bây giờ ta xét xem vì sao mà đáy lỗ lại không làm phẳng.

Ong đã nghĩ ra cách làm hai lớp lỗ chung đáy, kể ra đã là khôn. Như thế là bớt được một từng đáy.

Mới nghĩ qua thì tưởng làm đáy phẳng ít tốn sáp hơn là đáy ghềnh. Thế mà lại trái ngược. Vì dùng toán học có thể chứng minh rằng nếu có nhiếu ống hình sáu góc, chung một thể tích và chung một miệng thì lỗ đáy phẳng tốn sáp hơn lỗ đáy gồm có ba hình thoi và muốn tốn ít nhất thì phải dùng hình thoi mà ong đã phát minh ra. Nguyên là dùng đáy ghềnh thì từng đáy làm tốn sáp hơn đáy phẳng, nhưng lại có thể bớt bờ thành chiều cao, nên kết quả lại lợi hơn. 

Năm 1712, nhà khảo cứu Maraldi người Ý đã đo góc ở tổ ong và đã tìm thấy rằng hình thoi ở đáy có hai góc 109 độ 28 phút và hai góc 70 độ 32 phút.

Nhà toán học Koenig dùng phép tính vi phân mà tính làm sao cho diện tích toàn phần của tổ ong bé nhất, thì ông tìm thấy đúng những con số nói trên.

Ví dụ, hình trụ (xem hình 3) ABCDEF, JKLMNP thể tích là 226 ly khối.

Hinh trụ bốn góc ABCO, JKLQ là một phần ba.

Nếu ta lấy BH bằng OG, hình AHCG là một hình thoi. Và nếu ta thay đáy nằm ngang ABCO bằng đáy nằm chênh AHCG thì thể tích hình trụ bốn góc ấy không đổi, vì thể tích thêm lên ACOG lại bớt đi ACBH cũng bằng ACOG.

Về phương diện thể tích không đổi, chớ về phương diện diện tích thì có đổi; bởi vì bỏ đi những diện tích ABCO, ABH và CBH mà thay bằng AHCG. 

Ta gọi BH = x. Tính các diện tích, được:

ABCO = c²3 / 2, ABH = CBH = cx /2 , AHCG =  [c3(c² +4x²) ] / 2

và lượng y = ABCO + ABH + CBH - AHCG / 2 = c²3 + cx - [c3(c² +4x²) ] / 2

là diện tích có thể bớt đi được.

Ðạo hàm y là: y' = c [1 - 23 x] / (c² +4x²)]

Ðạo hàm triệt tiêu với x = c2 / 4

Bảng tóm tắt sự biến cải y như sau:

Xem thế thì biết với số x tính trên, sự thay đáy phẳng bằng đáy nhọn là có lợi hơn cả. Nói rõ hơn nữa, hễ y lớn hơn số không là có lợi.

Tính ra thì phương trình y = 0 có hai nghiệm số: x = 0 và x = c3 / 2 = 0.866c        

Vậy lấy BH ngắn hơn 0.866c thì có lợi, mà chỉ có BH = c2 / 4 = 0.353c là lợi hơn cả.

Với số ấy mà tính chiều IH thì được IH = c6 / 4 

Vậy: tgICH = IH / IC = 2 / 2 .

GS. Hoàng Xuân Hãn

(HXH tập I trang 1044)

Cùng Tác Giả:

- Toán học Hoàng Xuân Hãn Khảo cứu

- Con ong giỏi toán Hoàng Xuân Hãn Khảo cứu

- Hàn Tín Điểm Binh Hoàng Xuân Hãn Khảo cứu

- Lý Luận Thường Và Lý Luận Khoa Học Hoàng Xuân Hãn Khảo cứu