16-03-2006 | KHOA HỌC

Định lý Fermat đã được làm sáng tỏ?

  HOÀNG VŨ

      Pierre de Fermat

Định lý Toán học mang tên của một nhà toán học "tài tử" ở Toulouse (Pháp) đã 350 năm qua không có lời giải, cho tới khi Andrew Wiles bắt tay vào giải quyết ....

Một người Pháp sống ở thế kỷ 17 và một người Anh đang là giáo sư toán học ở Trường Đại học Princeton (Mỹ). Một người là cố vấn ở nghị viện Toulouse, là nhà toán học "nghiệp dư" theo cách của Pascal và Descartes, những người cùng thời và trở thành những nhà bác học; người kia là giáo sư Toán chuyên nghiệp. Cả hai đều chú tâm đến "định lý về các số đại số". Cách đây khoảng 350 năm, người thứ nhất đã trình bày một "định lý tột cùng" và mới đây, người thứ hai đã thực hiện thắng lợi.

Thật vậy, ngày 23/6 vừa qua, sau lần trình bày thứ ba ở cuộc họp hàng tháng của INI (Isaac Newton Institute) ở Trường Đại học Cambridge (Anh), khi Andrew Wiles, con người có bộ tóc hung, khá kín đáo viết lên tấm bảng đen, thay cho kết luận: "Hệ quả về định lý Fermat", đối với các nhà toán học, đó là "một giây phút sung sướng tuyệt đối". Bởi vì định lý cuối cùng của người thứ nhất vừa được chứng minh bởi người thứ hai. Sau ba thế kỷ rưỡi không ngừng bị tấn công, định lý toán học huyền thoại nhất trong các định lý đã bị chinh phục một cách Fermat. Ðây là sơ lược về nhà toán học Andrew Wiles cùng kỹ thuật của ông.

    Joan Coates & Andrew Wiles

Định lý Fermat" là một hệ quả của định lý Pythagore (mà tất cả các học sinh - dù muốn hay không - đều phải ghi sâu vào trí nhớ). Tóm tắt để nhớ: "Trong một tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng bình phương của hai cạnh khác". Tức là: a² + b²  = c² . Ở thế kỷ thứ tư, tại Alexandrie, Diophante (nhà toán học Hy Lạp) đã sửa lại định lý này, rút ra một loạt công thức để dựng những tam giác vuông mà đơn vị đo các cạnh là những số chẵn.

Mười ba thế kỷ sau, Pierre de Fermat đến lượt mình, chiếm đoạt những ý niệm của Diophante. Ông ta ghi nhận: nếu thay vì nâng lên bình phương a, b, c, có nghĩa là đem nhân chúng lên một lần bằng chính chúng, người ta nâng chúng lên lũy thừa 3 (ví dụ: a.a.a), mọi chuyện không tiến triển nữa.

Cũng như thế đối với a.a.a.a và các lũy thừa tiếp theo. Thế là ông Fermat đánh cuộc rằng điếu đó đúng với tất cả các lũy thừa có thể có và có thể tưởng tượng ra. Ông còn khẳng định rằng phương trình a2 + b2 = c2, mà n là một số nguyên từ 3 đến vô tận là không thể có được.

Và như thế Fermat là người đầu tiên nghĩ nát óc về ... "định lý Fermat"! Thực vậy, đúng là có chú thích quá khái lược từ tay của ông Fermat trong một cuốn chuyên luận của Diophante viết bên lề: "Tôi đã phát giác ra một chứng minh thật sự tuyệt vời ...". Lời huênh hoang? Cường điệu? Có thể lắm, nếu cứ tin vào lời Descartes (nhà toán học, vật lý học và triết gia Pháp, 1596-1650) khi nhận xét về Fermat: "Một đầu óc sắc sảo, đầy sáng tạo nhưng quá hấp tấp ..."

     Andrew Wiles

Từ đó, đã có bao phương trình và tính toán chảy dưới chân cầu toán học. Những máy điện toán, với công suất tàn bạo của nó, đã tính toán rằng định lý Fermat vẫn còn xác minh được! Dù rằng những bộ óc vĩ đại nhất như Euler, Lagrange, Gauss, Sophie Germain, Dirichlet, Lamé, Lionville, Cauchy, Kummer, Riemann ... đã thử tìm cách chứng minh, nhưng đều bó tay. Mỗi tháng, chỉ riêng Hàn lâm viện khoa học Pháp trung bình nhận được ba bản thảo mà các tác giả cho rằng đã chinh phục được "định lý Fermat" đó. Ở thế kỷ 19, chính Hàn lâm viện đó đã treo giải thưởng 3 trăm ngàn franc vàng để tặng cho người chứng minh được nhưng vẫn chưa có ai ....

Điều ít ra có thể nói về Andrew Wiles là ông không phải là một con người khoe khoang. Về đời tư của ông, người ta rất ít biết. Sau khi giới thiệu ông, John Coates, giám đốc Viện Isaac Newton, đã rỉ tai Wiles: "Chuyện này về mặt toán học tương đương với việc tách nhân nguyên tử" và Wiles đã trả lời: "Ý nghĩa của nó trước hết mang tính tượng trưng!"

Wiles ra đời năm 1953 ở Cambridge, thành phố mà cha ông giảng dạy về thần học. Ông đã tốt nghiệp ở Oxford và đỗ tiến sĩ ở Cambridge năm 1976. Tiếp tục công tác ở Đức rồi Pháp, sau đó giảng dạy ba năm ở Havard và đến Princeton từ 1982 với học vị tuyệt vời: giáo sư chính thức.

Ông sống với vợ - cũng là tiến sĩ về sinh hóa - và hai con gái. Cái thú duy nhất mà người ta biết về con người "rất dễ mến, không tự phụ, khiêm tốn là đằng khác", như lời ông Simon Kochen, giám đốc phân ban Toán học ở Trường đại học Princeton cho biết, là khiêu vũ với vợ.

Nhưng các đồng nghiệp của ông lại nói nhiều về nhà toán học này. John Coates ghi nhận: "Andrew là một nhà theo thuyết cấu trúc có một hiểu biết thành thạo về kỹ thuật lớn lao. Vũ khí của ông là bộ não". Trong cuộc phỏng vấn của tờ New York Times, Andrew Wiles kể rằng ông khám phá ra định lý Fermat trong một cuốn sách ở thư viện công cộng từ năm 10 tuổi. Chính từ đó, ông đã quyết định trở thành nhà toán học: "Tôi đã để gần hết thời niên thiếu để tìm cách chứng minh. Và tôi đã suy nghĩ không ngừng". Trở thành học sinh giỏi toán, ông hiểu rằng nhiệt tình tuổi trẻ không đủ. Nhưng đã 7 năm nay, ông cho rằng toàn cảnh toán học đã cho phép ông bắt đầu lao vào vấn đề này.

     Yutaka Taniyama

Ông lặng lẽ làm việc tại nhà, trên một gác lửng trống không ở lầu ba, không có máy điện toán cũng như điện thoại. Trở ngại cuối cùng đã được vượt qua cách đây hai tháng sau khi ông đã đọc một bài báo của tiến sĩ Bernard Mazur (ở Trường đại học Harvard). Đó là một sự dựng hình toán học có từ thế kỷ 19 mà ông chưa nghe nói đến bao giờ. Nó đã cho phép ông lẩn tránh được khó khăn cuối cùng sau 7 năm miệt mài. Thực ra, không phải ông Wiles đã tấn công trực tiếp vào bài toán cuối cùng của Fermat trong 7 năm qua, nhưng là cái mà các chuyên gia gọi là "phỏng đoán của Taniyama-Weil". Một vấn đề vô cùng phong phú hơn trong tương lai mà sự chứng minh kéo theo ngay tức khắc đến "định lý Fermat".

Đối với Jean Pierre Serre, người tập môn leo núi ở châu Âu, phỏng đoán cuối cùng đó tương đương với một cách đã hoàn toàn phẳng lì đối với nhà leo núi: "Andrew Wiles đã biết phát hiện ra ở đấy cái mà những người leo núi gọi là chỗ đặt ngón tay". Chính khi bám được vào chỗ nứt nhỏ xíu đó, mà mắt của các chuyên gia về số luận không nhìn thấy, dần dần Wiles đã mở ra con đường lên tới đỉnh cao.

Những cuộc kiểm tra tỷ mỷ về 200 trang của công trình cần cù của Wiles đã không phát hiện ra những sai sót quan trọng.  Một huyền thoại về toán học đã sụp đổ. Còn phong phú hơn nữa là lời giải đem lại cho phỏng đoán của Taniyama-Weil: nó sẽ dẫn tới một thế giới mới mà các nhà toán học đã sẵn sàng nghiên cứu.
  

Hoàng Vũ

(lược dịch từ Le point số 7/93)

Cùng Tác Giả:

- Định lý Fermat đã được làm sáng tỏ? Hoàng Vũ Khảo cứu